Основы вакуумной техники

И.В.БЕЛОКРЫЛОВ

Конспект лекций

4. Стационарный режим работы вакуумных систем

4.1. Распределения давления в вакуумных системах.

Для стационарного режима характерно постоянство во времени потоков и давлений во всех сечениях вакуумной системы. Газовый поток не остается постоянным по длине вакуумной системы, а увеличивается от одного элемента к другому за счет натекания и газовыделения.
Для расчета распределения давления по длине вакуумной системы запишем дифференциальное уравнение баланса сил в трубопроводе:

,                                                        (4.1)

 

где С – коэффициент пропорциональности.

Рис. 4.1. Простейшая вакуумная система

Будем считать, что трубопровод по всей длине имеет постоянную форму поперечного сечения с периметром П, а газовыделение с поверхности равно q. Тогда дифференциальное уравнение баланса массы можно записать в виде
,                                   (4.2)
при граничных условиях Q=Q0, x=l (Рис.4.1.).
Газовый поток в различных сечениях трубопровода может быть найден в результате интегрирования:
.                                  (4.3)

Исключая Q из уравнений (4.1) и (4.2), получим дифференциальное уравнение стационарной откачки:
.                             (4.4)

Разделяя переменные и интегрируя в пределах от Р1 до Р0 и от 0 до x, получаем

.             (4.5)

Распределение давления по координате x

.                     (4.6)

Давление р2 при x=l можно записать как

                      (4.7)

ЕслиQ0>qПl/2, то влиянием собственного газовыделения трубопровода на распределение давления можно пренебречь. Обозначая ,с учетом сделанного допущения можно преобразовать к виду
.                                       (4.8)

Распределение давления в этом случае становится линейным, а газовый поток постоянен во всех сечениях вакуумной системы

.                             (4.9)

Из (4.8) и (4.9) следует
.                                           (4.10)
Данное уравнение – основное уравнение вакуумной техники, оно связывает основные параметры вакуумной системы, эффективную быстроту откачки SЭФ, быстроту действия насоса SН и проводимость вакуумного трубопровода U.
Анализ уравнения (4.10) показывает, что если проводимость трубопровода значительно больше, то эффективная быстрота откачки объекта зависит только от насоса и наоборот, если U<<SН, эффективная быстрота откачки объекта приблизительно равна проводимости трубопровода  и мало зависит от быстроты действия насоса. При проектных расчетах вакуумных систем эффективную быстроту откачки объекта определяют исходя из газового потока и давления, а искомой  является быстрота действия насоса SН.
Вводя в основное уравнение коэффициент использования насоса , получим полезные соотношения:
;  .

При вязкостном режиме течения газа по трубопроводу проводимость трубопровода прямо пропорциональна давлению газа т. е. .
Используя такие же преобразования, как и при выводе уравнения (4.6), можно найти давление в произвольном сечении

.

При х=1 давление на конце трубопровода, соединенного с откачиваемым объектом
.                                    (4.11)

Зависимость давления от длины трубопровода при вязкостном режиме течения в случае  параболическая.
Давление р0 можно найти из условия , где Uо— проводимость входного отверстия при соответствующем режиме течения.
Давление р1 определяется характеристиками насоса. Если принять теоретическую зависимость быстроты откачки насоса SН от давления в виде функции

,                                (4.12)

где Sm — номинальнаябыстрота действия насоса; рпр — предельноедавление насоса, то рабочее давление насоса
.                            (4.13)

Решая это уравнение относительно р1, получим

.                                       (4.14)

4.2. Соединение арматуры и откачиваемых объектов

Арматура (коммутационные элементы, ловушки, трубопроводы) и откачиваемые объекты, соединяясь друг с другом, образуют сложные вакуумные системы. Место соединения двух элементов и более называют узлом вакуумной системы.
В узле сумма газовых потоков, проходящих через все К соединенные каналы, равна нулю, т. е.
.                                         (4.15)

Если в узле находится вакуумный насос, то (4.15) можно переписать в виде

.                                     (4.16)

При наличии в вакуумной системе нескольких узлов для каждого из них можно записать уравнение вида (4.15). Решая систему алгебраических уравнений, можно определить давления во всех узлах вакуумной системы.

Рис. 4.2. Параллельное соединение трубопроводов

Параллельное соединение трубопроводов (рис. 4.2) позволяет увеличить поток газа между двумя соседними узлами вакуумной системы. Давления р1 и р2 на концах всех трубопроводов одинаковы, а суммарный поток, который протекает между узлами, с учетом (4.8)

,

где Qi— поток, протекающий через i-й трубопровод.
Расчетную схему вакуумной системы можно упростить, считая, что узлы связаны одним эквивалентным трубопроводом проводимостью U

.                                       (4.17)

При обобщенном молекулярно-вязкостном режиме течения газа, при постоянной температуре и молекулярной массе, проводимость трубопровода является функцией давления и геометрических размеров трубопровода:

,                              (4.18)

гдеА, В— постоянные; dи l — диаметр и длина трубопровода; pcp —среднее давление в трубопроводе:.
Перепишем (4.17) с учетом (4.18):

.                (4.19)

Записывая равенство коэффициентов в левой и правой частях(4.19) при одинаковых степенях pСР, получим два уравнения

;      ,

из которых можно найти диаметр  и длину  эквивалентного трубопровода.

Рис. 4.3. Последовательное соединение трубопроводов

Последовательное соединение элементов (отверстий и трубопроводов) показано на рисунке 4.3. При одинаковом потоке газа во всех элементах можно записать
.                                       (4.20)

Складывая все п уравнений системы (4.20), получим

.                   (4.21)
Для всей системы последовательно соединенных элементов можно, также записать
.

Сравнивая (4.20) и (4.21) получим, что общую проводимость последовательно соединенных элементов можно рассчитать по формуле

.                                 (4.22)

Для расчета сложных вакуумных систем методами механики сплошной среды сделаем следующие допущения:
1) при последовательном соединении элементов с различными диаметрами условных проходов в местах сужения проходного сечения возникают дополнительные сопротивления потоку газа;
2) места расширения проходного сечения в вакуумных системах дополнительного сопротивления потоку газа не оказывают.
При молекулярном режиме течения система последовательно соединенных отверстий и длинных трубопроводов может быть заменена эквивалентным отверстием, подключенным к бесконечно большому объекту. Для системы, показанной на рисунке 4.3, с учетом того, что проводимость круглого отверстия
,

где: С — постоянная; di — диаметр отверстия; di-1 — диаметр предыдущего элемента, а проводимость длинного трубопровода Uтр = Adj3/lj, согласно (4.22), получим

,

где m— число сужений трубопровода; n— число трубопроводов в системе.
Решая записанное уравнение, можно найти диаметр dотверстия, проводимость которого равна проводимости сложной системы последовательно соединенных элементов.
При вязкостном режиме течения также можно определить размеры эквивалентного трубопровода. Если пренебречь сопротивлением отверстий, то систему уравнений (4.20) можно переписать с учетом общей формулы проводимости трубопровода при постоянной  температуре  в следующем виде
.                                   
Сложив все уравнения, получим
,

откуда следует, что диаметр dи длина lэквивалентного трубопровода должны удовлетворять условию
.                                      (4.23)

Задаваясь длиной эквивалентного трубопровода l, из (4.23) можно определить его диаметр d.
Параллельное соединение откачиваемых объектов к одному насосу (рис. 4.5, а) часто применяется при откачке небольших приборов. Записав уравнение (4.15) для узла с давлением р0, найдем
.                               (4.24)

Давление в любом  откачиваемом  объекте piзависит от р0. Согласно (4.8), получим
.                               (4.25)

Для последовательного соединения откачиваемых объектов (рис. 4.4, 6) давление р0 определяют по формуле (4.24), а давление pi в любом откачиваемом объекте, согласно (4.8)
.                                    (4.26)

Рис. 4.4. Соединения откачиваемых объектов:
α) параллельное; б) последовательное; в) параллельно-последовательное

Параллельно-последовательное соединение откачиваемых объектов (рис, 4.4, в)отличается от параллельного соединения (рис. 4.4, а) наличием коллектора, проводимость которого соизмерима с проводимостями трубопроводов, выходящих непосредственно из откачиваемых объектов. Давление роопределяют по формуле (4.24). Записывая уравнения (4.15) для узла, давление в котором , найдем

.

Аналогично можно определить давление в любом откачиваемом объекте:

.                    (4.27)

4.3. Соединения насосов

В вакуумных системах с большими газовыми потоками используют параллельное соединение насосов (рис. 4.5, а). Запишем уравнение (4.15) для узла А, к которому подключены через элементы с проводимостями U1, U2,...,Ui,...,Unвсе входные патрубки параллельно соединенных насосов

,                        (4.28)

где Q — суммарный поток, откачиваемый системой насосов.
Для входных сечений насосов уравнение (4.16) можно записать в виде равенства потоков, проходящих через элемент проводимостью Uiи через насос с быстротой откачки
                                 (4.29)

а)

б)
Рис.4.5. Соединение насосов:
α) параллельное; б) последовательное
Решая (4.29) относительно pi,найдем
.                            (4.30)
Быстроту откачки в узле А определяем после подстановки (4.30) в (4.28):

.                             (4.31)

Из (4.31) следует, что быстрота откачки в узле А равна сумме эффективных быстрот откачки всех насосов. Таким образом, систему параллельно соединенных насосов можно заменить одним насосом, подключенным к узлу и имеющим быстроту действия, определяемую по формуле (4.31).
Если все насосы одинаковы, то , а для обеспечения в узле А давления рА требуется следующее число насосов:
.                               (4.32)

Определим предельное давление системы в узле Апри Q=0, если система составлена из насосов с различными предельными давлениями .
В этом случае уравнение потоков (4.15) для узла Азапишем в виде

.                                    (4.33)

Используя зависимость SHiот давления согласно (4.12), можно (4.33) преобразовать к виду
.                              (4.34)

Для каждого из насосов справедливо уравнение

,                         (4.25)
из которого находим
.                                 (4.36)

После подстановки (4.36) в (4.34) и решения полученного выражения относительно давления получим выражение для предельного давления системы параллельно включенных насосов:
,                              (4.37)

где 
Максимальный газовый поток, который может быть откачан системой параллельно включенных насосов, соответствует равенству давлений  в их выходных патрубках максимальным выпускным давлениям насосов , которые зависят от конструкции насоса и указываются в каталогах. Уравнение потоков (4.15) в узле Взапишем, полагая, что
.                           (4.38)
Решая уравнение (4.38) относительно давления в узле В, получим

.                                         (4.39)

Эффективная быстрота откачки насоса предварительного разрежения в узле В

.                                               (4.40)

Величина быстроты откачки по формуле (4.40) определена с запасом, так как маловероятно, чтобы в системе с разными насосами все давления на их выходе стали одновременно равными максимальным выпускным. Уточнить SBможно для конкретной системы насосов при условии .
Система последовательно соединенных насосов (рис. 4.5, б) очень часто используется в высоковакуумных установках. Если пренебречь собственным газовыделением насосов и соединительных трубопроводов, то в стационарном режиме работы газовый поток Qво всех насосах останется неизменным и можно записать условие постоянства потока в виде

.                      (4.41)
Из условия (4.41) следует, что требуемые быстроты действия последовательно соединенных насосов уменьшаются пропорционально возрастанию давления:

.                         (4.42)

Быстрота откачки первого насоса из (4.41)

.                                     (4.43)

Для описания основной характеристики насоса примем выражение (4.12). Из (4.12) и (4.43) можно найти номинальную быстроту откачки:

.                                      (4.44)
Уравнение потоков (4.16) для входного сечения первого насоса

.                              (4.45)

Решая (4.45) относительно давления р1, получим с учетом выражения (4.8) для коэффициента использования насоса

.                            (4.46)

Подставляя (4.46) в (4.44), преобразуем выражение для номинальной быстроты откачки первого насоса:
.                                       (4.47)

Для любого другого последовательно включенного насоса аналогично (4.47), получим следующее выражение для определения номинальной быстроты откачки:

.                            (4.48)

В качестве давления p'i-1можно принимать максимальное выпускное давление предыдущего насоса.

4.4. Расчет газовых нагрузок

Стационарный газовый поток, откачиваемый насосом, во время работы вакуумной установки имеет несколько составляющих:

,
где  –  проницаемость материалов;  – диффузионное газовыделение материала;  – натекание через оболочку вакуумной камеры;  – стационарное технологическое газовыделение.
Все составляющие газового потока либо вообще не зависят от времени работы вакуумной установки, либо изменение газового потока за время ее работы не превышает точности выполняемых расчетов.
Количественная оценка процессов стационарной проницаемости газа через стенки вакуумной системы, изготовленные из различных материалов или имеющие различную толщину, может быть сделана по формуле

,                 (4.49)

где Koiи QPi – соответственно константа проницаемости и теплота активации для материала i-й стенки вакуумной системы; Fi и hi – cответственно площадь и половина толщины i-й стенки; р1 и p2 – давления с внутренней и наружной сторон стенок; п – число атомов в молекуле газа, проникающего через стенку; Т – абсолютная температура стенки; R=8,31 кДж/(кмоль∙К); N – число стенок вакуумной камеры, арматуры и трубопроводов, изготовленных из различного материала или имеющих разную толщину.
Газопроницаемость возрастает при уменьшении толщины стенок вакуумных камер. Особенно это заметно для деталей типа сильфонов, мембран и т. д., где малая толщина детали определяется условиями ее работы. Конструктивными способами уменьшения газопроницаемости кроме выбора материалов являются использование установок с «двойным» вакуумом и охлаждение деталей во время работы непосредственно в вакуумной камере.
Диффузионное газовыделение имеет нестационарную природу, но для большинства газов и материалов постоянная времени этих процессов настолько велика, что они могут рассматриваться как стационарные. Упрощенный метод определения диффузионного газовыделения основан на применении экспериментально определенных значений коэффициентов удельного диффузионного газовыделения, зависящих от рода газа, материала и его предварительной обработки, а также рабочей температуры. Газовый диффузионный поток

,                       (4.50)
где Fi – площадь i-го материала, присутствующего в вакуумной системе; N – число материалов; qcp – среднее удельное диффузионное газовыделение материалов вакуумной системы:
.                                                      (4.51)

Натекание через оболочку вакуумной камеры происходит в основном по разборным и неразборным соединениям, которые принципиально не могут обеспечить абсолютную герметичность. Натекание может происходить и по дефектам в структуре сплошного материала. Поэтому возможное натекание в вакуумную установку можно оценить по формуле
,                                              (4.52)

где  – минимальный поток, регистрируемый течеискателем;  – вероятность существования течи, меньшей чувствительности течеискателя; N – число соединений; m– число одновременно проверяемых соединений.
Резервом уменьшения  при расчете по формуле (4.52) является уменьшение числа испытаний на герметичность. Предельным случаем является одно испытание, когда m=N, и проверяется негерметичность всей установки. При работе с гелиевым течеискателем такая проверка производится размещением всей установки в атмосфере гелия с помощью полиэтиленовых колпаков или других вспомогательных средств, зависящих от размеров установки.

4.5. Расчет длительности откачки

Известные закономерности для расчета проводимости трубопроводов вакуумной системы позволяют рассчитывать стационарные режимы течения газа.
В большинстве случаев давление и поток газа зависит от времени, для упрощения задачи процесс считают квазистационарным, при этом:
1. Разность давлений на концах трубопроводов считают малой по сравнению со среднем давлением.
2. Объем трубопроводов принимается значительно меньше объема откачиваемого сосуда.
3. В трубопроводах в каждый момент времени существует только один режим течения газа.
Данные условия можно выразить математически через постоянные времени и записать как отношения соответствующего объема к скоростям удаления газа из него.
Для откачиваемого объема постоянная времени:

                                          (4.53)
Для трубопровода
 ,                                     (4.54)

где L – длинна трубопровода, U – проводимость, А – площадь поперечного сечения трубопровода.
Таким образом, для существования квазистационарного режима течения должно выполнятся условие:
 .                          (4.55)

Реальные вакуумные системы обычно удовлетворяют данному условию, исключение составляет начальный период откачки, продолжительность которого не велика.
Изменение массы в сосуде за время dt составит            .
Тогда уравнение материального баланса будет иметь вид:

,

где Q – суммарный поток газа, поступающий в объем.
После разделения переменных получаем

                              (4.56)

После интегрирования получаем
                                (4.57)
При малой быстроте откачки температура газа в откачиваемом объеме практически не меняется – n≈1.
Тогда (4.57) существенно упрощается

                                 (4.58)

При длительной откачке, когда время стремится к бесконечности, получаем уравнение для определения наименьшего или предельного остаточного давления, которое может быть достигнуто в системе.
                                  (4.59)

Самое низкое давление при n≈1.
При изотермическом процессе:
                                    (4.60)

Уравнение (4.58) позволяет рассчитать длительность откачки при постоянных U, S0, Q, что обычно наблюдается при турбулентном и вязкостном режимах течения, когда Q можно не учитывать, а S0 практически определяется быстротой действия насоса SН.
В тех случаях, когда Q или S0 меняются в процессе откачки, весь период откачки разбивают на участки по давлению, внутри каждого из которых Q можно считать постоянным. Тогда суммарное время определяется уравнением , где τi рассчитывается по (4.57) или (4.58).

{jlcomments}